Définition
Système linéaire : système du type
$$(S):\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=d_1\\ b_1x_1+b_2x_2+\ldots+b_nx_n=d_2\\ c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n=d_3\\ \ldots\\ h_1x_1+h_2x_2+\ldots+h_nx_n=d_m\end{cases}$$
Dans un système linéaire, il y a \(m\) équation linéaire à \(n\) inconnues
(
Equation linéaire)
Résolution
Une solution d'un système linéaire est de la forme \((d_1,d_2,d_2,\ldots,d_m)\)
Méthode de substitutionMéthode de combinaison
Si un système possède une infinité de solutions, on peut fixer une variable égale à \(\lambda\in\Bbb R\)
Systèmes linéaires particuliers
Systèmes équivalentsSystème triangulaireMéthode du pivot de Gauss
Théorème : $$\begin{cases}a_1x+a_2y=c_1\\ b_1x+b_2y=c_2\end{cases}$$
Ce système admet une seule solution pour \(\forall\binom{c_1}{c_2}\in\Bbb R^2\) si et seulement si $$\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{pmatrix}\neq0$$
Le théorème est similaire pour un système de trois équations à trois inconnues
(
Déterminant)
Existence de solutions d'un système linéaire :
- on se donne un système linéaire $$\begin{cases} a_{11}x_1+\dots +a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+\dots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$$
- le système possède une unique solution
$$\Huge\iff$$
- $$\operatorname{det}\begin{pmatrix} a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}\ne0$$
END
Ecriture matricielle d'un système